Chiều 31/5, khoảng 124.000 thí sinh Hà Nội thi môn Toán vào lớp 10. Đề thi gồm 5 bài, làm trong 120 phút. Trong đó bài 5 với 0,5 điểm gây tranh cãi về đáp án. Đề thi như sau:

Một công ty dự định thuê một kho xưởng và điều động một số công nhân để hoàn thành đơn hàng 1000 sản phẩm. Chi phí thuê kho xưởng được tính theo ngày với giá 3 triệu đồng một ngày. Biết một ngày mỗi công nhân làm được 5 sản phẩm và công ty dự định thưởng mỗi công nhân 1 triệu đồng sau khi đơn hàng được hoàn thành. Công ty muốn tổng chi phí thuê kho xưởng và thưởng công nhân khi hoàn thành đơn hàng là nhỏ nhất. Hỏi công ty nên điều động bao nhiêu công nhân và thuê kho xưởng trong bao nhiêu ngày?.

Xem đề thi Toán lớp 10

Bài nằm ở cuối đề, nên học sinh thường coi đây là bài khó nhất, để lấy điểm 10. Việt Hoàng, học sinh hệ THCS của trường THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam, cho biết đã làm xong bài này.

Hoàng gọi x là số công nhân được thuê và y là số ngày thuê xưởng để hoàn thành đơn hàng 1000 sản phẩm (x, y thuộc N*). Số sản phẩm làm được sau y ngày là 5xy (sản phẩm), và điều kiện là 5xy = 1000.

Sau nhiều bước biến đổi, Hoàng tìm được x = 25 (công nhân) và y = 8 (ngày).

Đây cũng là cách giải của Hà My, thi tại trường THPT Kim Liên. Nữ sinh cho rằng bài quy định mỗi công nhân làm 5 sản phẩm một ngày, thì họ sẽ làm chuẩn theo định mức, tới 1000 sản phẩm sẽ dừng. Hơn nữa, "đây là bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, tại sao phải làm dư để tốn thêm chi phí?".

Cô Phạm Thị Kim Huệ, Phó hiệu trưởng kiêm giáo viên môn Toán trường THCS Chương Dương, cho biết bài toán nói trên thuộc dạng Toán tối ưu chi phí sản xuất. Theo cô Huệ, đặt điều kiện 5xy = 1000 là đúng, theo yêu cầu đề bài.

Trung tâm Toán và Khoa học TP-Edu cũng giải bài toán nói trên theo cách đặt dấu =. Điểm khác biệt trong lời giải của đơn vị này là chỉ đặt một ẩn x cho số công nhân (x thuộc N*), rồi thiết lập các đại lượng khác theo x.

Khi đó, thời gian công ty hoàn thành 1000 sản phẩm là 1000/5x = 200/x (ngày). Chi phí thuê kho xưởng là 600/x (triệu đồng).

Tuy nhiên, thầy Võ Quốc Bá Cẩn, giáo viên Toán trường THCS Archimedes Academy, cho rằng 5xy = 1000 là chưa đúng.

Theo thầy Cẩn, đặt 5xy = 1000 tức là đang ngầm hiểu rằng công ty phải sản xuất đúng 1000 sản phẩm, và tất cả công nhân phải làm đủ y ngày. Tuy nhiên, đề bài không nói "cần hoàn thành ĐÚNG 1000 sản phẩm", mà chỉ đề cập "đơn hàng 1000 sản phẩm".

"Đặt 5xy = 1000 ngay từ đầu là đang bỏ qua các trường hợp, như x = 30, y = 7. Khi đó, 5xy = 1050, trường hợp này vẫn hoàn thành đơn hàng 1000 sản phẩm, nên không thể loại ngay từ đầu", thầy nói.

Phân tích thêm, thầy Cẩn cho rằng nhiều người có thể suy luận nghiệm tối ưu phải nằm ở 5xy = 1000, vì sản xuất dư sản phẩm thường bị coi là lãng phí. Điều này "tình cờ" đúng trong bài này, vì phương trình 5xy = 1000 có nghiệm nguyên dương. Nhưng nếu đổi thành 1009 sản phẩm, học sinh không thể "ép" 5xy = 1009, vì phương trình không có nghiệm nguyên dương.

Thầy cũng nói thêm rằng với biến nguyên, nghiệm tối ưu không phải lúc nào cũng đúng ở dấu =. Ví dụ, cần xy >= 11, tối thiểu hóa x + y (với x, y nguyên dương). Nếu xy = 11, ta có cặp nghiệm (1, 11), chi phí 1 + 11 = 12. Nhưng nếu chọn cặp nghiệm (3, 4) thì xy = 12 > 11, nhưng chi phí chỉ 3 + 4 = 7.

Vì vậy, với bài 5 trong đề Toán lớp 10, cách đúng là đặt 5xy >= 1000, tức xy >= 200, sau đó mới chứng minh chi phí (x + 3y) nhỏ nhất tại x = 25 và y = 8. Khi ấy, "tình cờ" có xy = 200, tức là vừa đủ sản phẩm.

"Tóm lại, kết quả x = 25, y = 8 là đúng, nhưng nếu lời giải đặt ngay 5xy = 1000 mà không giải thích vì sao xét dấu = thì lập luận chưa chặt chẽ", thầy Cẩn nói.

Thầy Đức, giáo viên Toán tại một trung tâm ở Hà Nội, cũng thấy đặt 5xy >= 1000 là hợp lý hơn, theo dữ kiện đề bài cho.

Thầy cho biết có hai cách hiểu đề bài. Với cách 1, y (số ngày thuê xưởng) là số nguyên dương, tức là thực tế chỉ thuê 2,5 ngày, nhưng vẫn phải trả tiền 3 ngày. Vì thế, số ngày thuê >= 1000/5x, nên phải có 5xy > = 1000, do thực tế sẽ có ngày công nhân không làm đủ 5 sản phẩm (do đã hoàn thành kế hoạch).

Cách hiểu 2 sẽ coi y là số thực dương, tức thuê 2,5 ngày thì chỉ trả tiền 2,5 ngày. Lúc này, 5xy = 1000.

"Trong thực tế, nhiều trường hợp áp dụng cách hiểu 2, nhưng căn cứ vào dữ kiện 'chi phí thuê kho xưởng được tính theo ngày' mà đề bài cho, cách hiểu 1 hợp lý hơn. Vì vậy, 5xy >= 1000", thầy Đức nói.

Hiện, Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội chưa đưa ra đáp án và hướng dẫn chấm môn Toán. Dù có quan điểm khác nhau về cách đặt điều kiện, các giáo viên cho rằng hội đồng chấm thi nên cho điểm cả hai trường hợp = và >=, khi học sinh giải trọn vẹn và ra đáp số đúng.

"Nếu giám khảo cảm thấy học sinh đã hiểu được bản chất của bài Toán và giải đúng kết quả, thì có thể cho điểm", cô Huệ nói. "Quan điểm của tôi là tạo điều kiện cho học sinh, nhưng nếu trừ điểm cũng không sai vì khác biệt này liên quan đến bản chất đúng sai của Toán học".

Thầy Đức cũng ủng hộ, bởi thấy rằng với một bài khó, giá trị 0,5 điểm mà trừ một nửa của những học sinh đã giải trọn vẹn là hơi "nặng".

Theo kế hoạch, quá trình chấm thi lớp 10 diễn ra từ ngày 31/5 đến 10/6. Kết quả dự kiến được công bố vào 19-22/6.

Thanh Hằng

* Tên học sinh được thay đổi